HỘI 8 TRƯỜNG THPT CHUYÊN

LẦN THI CHUNG THỨ 3

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA

Năm học 2018 – 2019 MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 90 phút;

(Đề thi gồm 50 câu trắc nghiệm, 6 trang)

Mã đề thi 132

Họ, tên thí sinh:…………………………………………………. Số báo danh: ………………………..

Câu 1: Trong không gian Oxyz,

cho điểm M 2;1;5. Hình chiếu của M lên trục Ox có tọa độ là

A. 0;1;5. B. 2; 0; 0. C. 0;1; 0. D. 0; 0;5.

Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : x  3  y  2  z 1 . Đường thẳng d có một véctơ

1 4 2

chỉ phương có tọa độ là

A. 1; 4; 2. B. 4;1; 2.

C. 1; 4; 2.

D. 3; 2; 1.

Câu 3: Cho hàm số

y  f  x có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 3. B. 1. C. 2. D. 4.

Câu 4: Với các số thực a, b bất kỳ, mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. 2^a.2^b  2^ab.

B. 2^a.2^b  2^ab.

C. 2^a.2^b  2^ab.

D. 2^a.2^b  4^ab.

Câu 5: Hàm số

y  x 1 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?

x 1

A. ;2.

B. 1; .

C. 1; 2. D. ; .

Câu 6: Cho cấp số nhân u_n  có số hạng đầu u₁  3 và số hạng thứ hai u₂  6. Giá trị của u₄ bằng

A. 12. B. 24.

Câu 7: Họ nguyên hàm của hàm số

x2

f  x  x  sin x

C. 12.

là

D. 24.

x2

1.  cos x  C. 2
2. 1 cos x  C.
3. 1 cos x  C.
4.  cos x  C. 2

Câu 8: Khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a, chiều cao h có thể tích bằng

• 1. 1 3

a²h.

• 1. ah.
  2. a .

h

2

• 1. a²h.

Câu 9: Giá trị của log2 4 2  bằng

1. 3 .

2

1. 5 . 2

1 2

C. 4. D. 3.

Câu 10: Tích phân  2x 1 dx bằng

0

A. 2 ln 2. B. 2 ln 3. C. ln 2. D. ln 3.

Trang 1/6 – Mã đề thi 132

Câu 11: Kí hiệu

z , z là hai nghiệm phức của phương trình

z²  z 1  0. Giá trị của z  z

bằng

A. i.

1 2

B. 1.

1 2

C. 1. D. i.

Câu 12: Với k và n là hai số tự nhiên tùy ý thỏa mãn k  n, mệnh đề nào dưới đây đúng ?

1. A^k n! .
2. A^k  n!.
3. A^k n! .
4. Ak  k !n  k !.

n n  k !

ⁿ k !

ⁿ k !n  k !

ⁿ n!

Câu 13: Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây ?

A. y  x³  2x² 1.

C. y  x³  x² 1.

B. y  x³  x² 1.

D. y  x³  2x² 1.

Câu 14: Thể tích của khối trụ tròn xoay có bán kính đáy r, chiều cao h bằng

 r ²h

• 1. .

3

• 1. 3 r ²h.
  2.  r ²h.
  3. 2 r ²h.

Câu 15: Trong không gian

Oxyz,

cho mặt cầu S  :  x 12   y  32   z  42  4. Tọa độ tâm I và

bán kính R của mặt cầu S  là

A. I 1;3; 4; R  2.

B. I 1; 3; 4; R  2.

C. I 1; 3; 4; R  4.

D. I 1;3; 4; R  4.

Câu 16: Phương trình log 5.2^x  4  2x có bao nhiêu nghiệm nguyên dương ?

2

A. 2. B. 0. C. 3. D. 1.

Câu 17: Đồ thị của hàm số

y  x³  3x

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng ?

A. 2. B. 3. C. 4. D. 1.

x 1

Câu 18: Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số

f  x  ax⁵  bx⁴  cx³  dx²  ex  g. Hỏi đồ thị của hàm số

y  f  x

có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 5. B. 4.

C. 3. D. 6.

Câu 19: Kí hiệu

x , x là hai nghiệm thực của phương trình 4^x2  x  2^x2  x1  3. Giá trị của

x1  x2

bằng

A. 3. B. 4. C. 2. D. 1.

1 2

2^mn  8

Câu 20: Cho m, n thỏa mãn 2m  2n  6. Giá trị của mn bằng



A. 2. B. 4. C. 1. D. 8.

Trang 2/6 – Mã đề thi 132

Câu 21: Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a và chiều cao bằng a

bằng

1. Thể tích khối nón đã cho

 a³

• 1. .

3

2 a³

• 1. .

3



• 1. .

 3 

2 a³

• 1. .

3  

3 a³



Câu 22: Trong không gian Oxyz,

cho a 2; 2; 0 , b 2; 2; 0 , c 2; 2; 2.

Giá trị của

a  b  c

bằng

A. 6. B. 11. C. 2 11. D. 2 6.

Câu 23: Cho

4

 f  xdx bằng

0

f  x xác định, liên tục trên 0; 4

thỏa mãn

f  x  f 4  x  x²  4x.

Giá trị của

A. 32. B. 16 .

3

C. 32 .

3

D. 16.

Câu 24: Giá trị

A. 17.

1 i2  i  i

B.

bằng

5. C. 3.

D. 13.

Câu 25: Số phức z có điểm biểu diễn A như hình vẽ. Phần ảo của số phức

z

z  i

bằng

1. 5 i. 4

C. 5 .

4

Câu 26: Cho hàm số

1. 1 i. 4

D. 1 .

4

y  f  x có bảng xét dấu biến thiên như sau

Giá trị lớn nhất của hàm số

f sin x 1 bằng

A. 4. B. 3. C. 3.

D. 2.

x  t



Câu 27: Trong không gian Oxyz, cho điểm M 1; 1; 2

và hai đường thẳng

d :  y  1 4t ,

z  6  6t



d  : x  y 1  z  2 . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua M ,

vuông góc với

2 1 5

d và d  ?

A. x 1  y 1  z  2 .

17 14 9

C. x 1  y 1  z  2 . 17 9 14

B. x 1  y 1  z  2 .

14 17 9

D. x 1  y 1  z  2 .

14 17 9

Trang 3/6 – Mã đề thi 132

Câu 28: Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số

f  x  ax⁴  bx³  cx²  dx  e. Hỏi có bao nhiêu m nguyên để

phương trình

3.

C. 1.

f  x   m

có ít nhất ba nghiệm phân biệt ?

2.

D. 4.

Câu 29: Cho khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a. Thể tích khối chóp đã cho bằng

a3

a3

2

a3

2

1. .

2

1. a³.
2. .

6

1. .

3

Câu 30: Cho lăng trụ đều phẳng  ABC bằng

ABC.ABC có tất cả các cạnh bằng

a. Góc giữa đường thẳng AB và mặt

A. 60^o. B. 45^o. C. 30^o. D. 90^o.



² cos x  3 b2

Câu 31: Cho 



2

2^x 1

dx  a 

a, b . Giá trị của a  b

2

bằng

A. 10. B. 4. C. 2.

D. 2.

Câu 32: Trong không gian Oxyz,

cho 2 đường thẳng d1

: x 1  y  2  z 1 và d

1 1 2 ²

: x 1  y 1  z  2 .

2 1 1

Mặt phẳng  P : x  ay  bz  c  0c  0 song song với d₁, d₂ và khoảng cách từ d₁ đến P bằng 2 lần

khoảng cách từ d₂ đến  P. Giá trị của a  b  c

bằng

A. 14. B. 6. C. 4. D. 6.

Câu 33: Cho số phức z thỏa mãn 2  i z  2  i z  2i. Giá trị nhỏ nhất của

z bằng

A. 1. B. 2 5 .

5

C. 2. D. 5 .

5

Câu 34: Một công ti sản xuất bút chì có dạng hình lăng trụ lục giác đều có chiều cao 18 cm và đáy là hình lục giác nội tiếp đường tròn đường kính 1cm. Bút chì được cấu tạo từ 2 thành phần chính là than chì

và bột gỗ ép, than chì là một khối trụ ở trung tâm có đường kính 1 cm,

4

giá thành 540 đồng /cm³. Bột gỗ

ép xung quanh có giá thành 100 đồng /cm³. Tính giá của một cái bút chì được công ti bán ra biết giá nguyên vật liệu chiếm 15, 58% giá thành sản phẩm.

A. 10000 đồng. B. 8000 đồng. C. 5000 đồng. D. 3000 đồng.

Câu 35: Cho hàm số

y  m²  3m  2 x⁴  x³  m  2 x²  x, có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm

số đã cho nghịch biến trên khoảng ; ?

A. 3. B. 1. C. 0. D. 2.

Câu 36: Cho khối lăng trụ

ABC.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại A có AB  AC  2a ;

BC  2a 3 . Tam giác ABC

vuông cân tại A và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy  ABC  .

Khoảng cách giữa hai AA và BC bằng

a 2

2

a 5

2

A. a . B.

3

. C.

. D.

a 3 .

2

Trang 4/6 – Mã đề thi 132

Câu 37: Cho

x, y thỏa mãn log x  log y  log x²  y . Giá trị nhỏ nhất của 3x  y

2 2 2

1 1 1

bằng

 A. 9. B. 4  2 3. C. 15. D. 5  2 3.

Câu 38: Xếp ngẫu nhiên 21 học sinh, trong đó có đúng một bạn tên Thêm và đúng một bạn tên Qúy vào ba bàn tròn có số chỗ ngồi lần lượt là 6, 7,8. Xác suất để hai bạn Thêm và Quý ngồi cạnh nhau bằng

1. 1 . 10
2. . 19

C. 12 .

35

D. 1 .

6

Câu 39: Trong không gian

Oxyz,

cho ba mặt phẳng  P : x  y  z 1  0,

Q :2 y  z  5  0

và R : x  y  z  2  0. Gọi   là mặt phẳng qua giao tuyến của P và Q, đồng thời vuông góc với

R. Phương trình của   là

A. 2x  3 y  5z  5  0.

B. x  3 y  2z  6  0.

C. x  3 y  2z  6  0.

D. 2x  3 y  5z  5  0.

Câu 40: Cho hình chóp

• 1. BCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và

AB  2a, AD  a. Tam giác SAB

đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng

  

• • 1. a

57 .

6

• • 1. a

19 .

4

• • 1. 2a

15 .

3

• • 1. a

13 .

3

ln x

1 ln y

Câu 41: Cho bằng

A. 1 ln 3  ln 2.

x, y 0; 2

thỏa mãn  x  3 x  8  ey ey 11.

Giá trị lớn nhất của 

• • • 1. 2 ln 3  ln 2.
      2. 1

ln 3  ln 2.

1

ln 2.

Câu 42: Có bao nhiêu số phức

z  a  bi a, b  thỏa mãn

z  i  z  3i  z  4i  z  6i và

z  10.

A. 12 B. 2. C. 10. D. 5.

Câu 43: Cho Parabol P : y  x² và đường tròn C  có tâm

5

A0;3, bán kính

như hình vẽ. Diện tích phần được tô đậm giữa

C  và P gần nhất với số nào dưới đây ?

A. 3, 44. B. 1, 51.

C. 3, 54. D. 1, 77.

Câu 44: Cho hàm số

1

f  x

có đạo hàm trên  thỏa mãn

4 f ³  x  f  x  x

với mọi

x .

Giá trị

của  f  x dx

0

bằng

A. 0. B. 1 .

2

C. 5 . 16

D.  1 .

2

Câu 45: Cho khối lăng trụ tam giác đều

ABC.ABC. Các mặt phẳng  ABC và  ABC 

chia khối lăng

trụ đã cho thành 4 khối đa diện. Kí hiệu

H1 , H2 lần lượt là khối có thể tích lớn nhất và nhỏ nhất trong bốn

khối trên. Giá trị của V H1 

V H 

2

bằng

A. 4. B. 2. C. 5. D. 3.

Câu 46: Hỏi hàm số

4.

y  sin 2x  x

7.

có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng  ; ?

C. 5. D. 3.

Trang 5/6 – Mã đề thi 132

Câu 47: Cho hàm số

f  x  2x³  6x² 1 và các số thực m, n thỏa mãn m²  4mn  5n²  2 2n 1. Giá

 trị nhỏ nhất của

f  m  2 2  bằng

 n 

 

A. 4. B. 99.

C. 5. D. 100.

Câu 48: Cho hai đường cong  H  : y  m  1

x

và P : y  x²  x 1.

Biết  P,  H  cắt nhau tại 3 điểm

phân biệt sao cho đường tròn đi qua 3 điểm này có bán kính bằng 2. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. m  1; 6.

B. m 6;1.

C. m ; 6.

D. m 6; .

Câu 49: Trong không gian Oxyz,

gọi d là đường thẳng đi qua O, thuộc mặt phẳng Oyz 

và cách điểm

M 1; 2;1 một khoảng nhỏ nhất. Côsin của góc giữa d và trục tung bằng

2

5

• 1. 2 .

5

• 1. 1 .

5

• 1. 1 . 5
  2. .

Câu 50: Trong không gian

Oxyz, cho hai mặt cầu S  : x²  y²   z 12  25 và

S :  x 12   y  22   z  32  1.

Mặt phẳng P

tiếp xúc S

và cắt S 

theo giao tuyến là một

đường tròn có chu vi bằng 6. Khoảng cách từ O đến P  bằng

A. 14 .

3

B. 17 .

7

C. 8 .

9

D. 19 .

2

HẾT

(Thí sinh không được sử dụng tài liệu)

Trang 6/6 – Mã đề thi 132

PHIẾU ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN

Mã đề: 132

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
A
B
C
D

	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
A
B
C
D

	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
A
B
C
D									D

Mã đề: 209

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
A
B
C
D

	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
A
B
C
D

	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
A
B
C
D						D

Mã đề: 357

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
A
B
C
D

	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
A
B
C
D

	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
A
B
C
D								D

Mã đề: 485

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
A
B
C
D

	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
A
B
C
D

	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
A
B
C
D									D

Mã đề: 570

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
A
B
C
D

	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
A
B
C
D

	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
A
B						B
C
D

Mã đề: 628

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
A
B
C
D

	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
A
B
C
D

	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
A
B					B
C
D

Mã đề: 743

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
A
B
C
D

	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
A
B
C
D

	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
A
B				B
C
D

Mã đề: 896

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
A
B
C
D

	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
A
B
C
D

	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
A
B		B
C
D

BẢNG ĐÁP ÁN

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
B	C	A	C	C	B	D	D	B	D	B	A	C	C	B	D	D	A	D	A	D	C	B	B	D
26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
B	D	A	C	B	A	A	D	A	D	D	A	A	B	A	B	A	C	C	C	C	B	A	D	A

Câu 1. Trong không gian Oxyz,

LỜI GIẢI CHI TIẾT

cho điểm M 2;1;5. Hình chiếu của M lên trục Ox có tọa độ là

A. 0;1;5. B. 2; 0; 0. C. 0;1; 0. D. 0; 0;5.

Lời giải

C họn B

Hình chiếu của điểm M lên trục Ox có tọa độ là 2; 0; 0.

Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : x  3  y  2  z  1 . Đường thẳng d có một véctơ

1 4 2

chỉ phương có tọa độ là

A. 1; 4; 2. B. 4 ;1; 2.

C. 1;  4; 2.

Lời giải

D. 3; 2; 1.

C họn C

Theo định nghĩa phương trình chính tắc của đường thẳng trong không gian thì đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u  1;  4; 2 .



Câu 3. Cho hàm số

y  f  x  có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 4 .

Lời giải

C họn A

Từ bảng biến thiên ta thấy

cực trị.

f ‘ x  đổi dấu 3 lần khi qua x  2; x  0; x  1 nên hàm số có 3 điểm

Câu 4. Với các số thực a, b bất kỳ, mệnh đề nào dưới đây đúng

A. 2a.2b  2ab.

B. 2a.2b  2a b.

C Lời giải

. 2a.2b  2a b.

D. 2a.2b  4ab.

C họn C

Ta có: 2a.2b  2ab.

Câu 5. Hàm số

y  x 1 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

x 1

A. ; 2 . B. 1;   . C. 1; 2 . D.  ;   .

Lời giải

C họn C

Hàm số có tập xác định D   \ 1.

Trang 7/28 – WordToan

Ta có

y  x 1  y 

x 1

2

 x 12

 0 , x   .

Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng ;1

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng 1; 2 .

và 1;   .

Câu 6. Cho cấp số nhân u_n  có số hạng đầu u₁  3 và số hạng u₂  6 . Giá trị của u₄

A. 12 . B. 24 . C. 12 . D. 24 .

Lời giải

bằng

Chọn B

Gọi q là công bội của cấp số nhân u_n  .

Ta có u  u .q  q  u2  2 .

2 1

u

1

u4  u1.q³  24 .

Câu 7. Họ nguyên hàm của hàm số

x2 

f  x  x  sin x là

x2

1. cos x  C.

2

1. 1 cos x  C.
2. 1 cos x  C.

Lời giải

D.

2

 cos x  C.

Chọn D

Ta có  f  xdx   x sin x dx 

x  cos x  C .

2

2

Câu 8. Khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a, chiều cao h có thể tích bằng

1. 1 3

a²h.

1. ah.
2. a .

h

2

1. a2 h.

Lời giải

Chọn D

Diện tích đáy là a2 ; thể tích lăng trụ là V  a2 h .

Câu 9. Giá trị của log2 4 2  bằng

1. 3 . 2

Chọn B

1. 5 . 2

C. 4. D. 3.

Lời giải

  ¹  ⁵ 5

log

4 2   log

 2².22   log 22  .

  2

2

1 2

2 2

Câu 10. Tích phân  2x 1 dx bằng:

0

A. 2 ln 2. B. 2 ln 3. C. ln 2.. D. ln 3.

Lời giải

Chọn D

¹ 2 ¹ (2x 1)’ ¹ d(2x 1) 1

 2x 1 dx  

2x 1

dx  

2x 1

 ln 2x 1  ln 3.

0

0 0 0

Câu 11. Kí hiệu

z , z là hai nghiệm phức của phương trình z2  z 1  0. Giá trị của z  z

bằng

1 2 1 2

A. i . B. 1. C. 1. D. i .

Lời giải

Trang 8/28 – Diễn đàn giáo viên Toán

C họn B

Phương trình z²



z1

 z 1  0  



z2



 1 3i

 2 .

 1 3i

2

Vậy

z1  z2  1.

Câu 12. Với k và n là hai số tự nhiên tùy ý thỏa mãn k  n, mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. A^k  n! . B.

A^k  n! . C.

A^k  n! . D.

Ak  k !n  k !.

n n  k !

C họn A

ⁿ k !

Lời giải

ⁿ k !n  k !

ⁿ n!

Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là: A^k 

n

n!

n  k !.

Câu 13. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. y  x³  2x² 1. B.

y  x³  x² 1 . C. y  x³  x² 1. D.

y  x³  2x² 1 .

Lời giải

C họn C

Dựa vào đồ thị ta có

• đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên loại đáp án B, D.
• Hàm số có một điểm cực trị âm nên loại phương án A.

Câu 14. Thể tích của khối trụ tròn xoay có bán kính đáy r, chiều cao h bằng

r ²h

1. .

3

1. 3r 2 h.
2. r 2 h.

Lời giải

1. 2r 2 h.

C họn C

Thể tích của khối trụ tròn xoay có bán kính đáy r, chiều cao h là V  r 2 h .

Câu 15. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S  :  x 12   y  32   z  42  4 . Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu S  là

A. I 1; 3;  4, R  2 . B. I 1;  3; 4, R  2 . C. I 1;  3; 4, R  4 . D. I 1; 3;  4, R  4 .

Lời giải

C họn B

Mặt cầu S  :  x 12   y  32   z  42  4 có tâm I 1;  3; 4 và bán kính

R  2 .

Trang 9/28 – WordToan

Câu 16. Phương trình log 5.2^x  4  2x có bao nhiêu nghiệm nguyên dương?

2

A. 2 . B. 0 . C. 3 . D. 1.

Lời giải

C họn D

2^x  1

 x  0

Phương trình log2

5.2^x  4  2x  2^2x  5.2^x  4  0  





2^x  4

 x  1 .

Vậy phương trình có một nghiệm nguyên dương.

x 1



Câu 17. Đồ thị của hàm số

y  x³  3x

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 1.

Lời giải

C họn D

 Tập xác định D  1;  \  3.

3

Vì lim

x 3 

y   và

lim

x 3 

y    Tiệm cận đứng là x  .

Câu 18. Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số

f  x  ax⁵  bx⁴  cx³  dx²  ex  g. Hỏi đồ thị của hàm số

y  f  x

có bao nhiêu điểm cực trị?

A . 5 . B. 4 . C. 3 . D. 6 .

Lời giải

C họn A

Ta có y 

 f  x 

f x 



    f  x



khi f  x  0

. Cách vẽ đồ thị hàm số y 

 

khi f x  0

f  x

như sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị hàm số

y  f  x nằm trên trục hoành ta được C₁ 

+ Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y  f  x nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành ta

được C₂  . Suy ra đồ thị hàm số y 

f  x

gồm C₁  và C₂  .

Vậy đồ thị hàm số y 

f  x

có 5 điểm cực trị.

Câu 19. Kí hiệu x , x là hai nghiệm thực của phương trình 4^x2  x  2^x2  x1  3 . Giá trị của x  x

bằng

1 2 1 2

A. 3 . B. 4 . C. 2 . D. 1.

Lời giải

C họn D

Ta có 4^x2  x  2^x2  x1  3  2^x2  x 2  2.2^x2  x  3  0 .

Trang 10/28 – Diễn đàn giáo viên Toán

Đặt 2^x2  x  t  0 ta được: t ²  2t  3  0  t  3 .

t  1



Vì t  0 nên nhận t  1. Suy ra 2^x2 x  1  x2  x  0   x  0 .

 x  1



Như thế x1  0 hoặc x1  1 .

x  1 x  0

Vậy

 2  2

x1  x2  1.

2^mn  8

Câu 20. Cho m , n thỏa mãn 2m  2n  6 . Giá trị của m.n bằng



A . 2 . B. 4 . C. 1. D. 8 .

Lời giải

Chọn A

2^mn  8

2^m.2ⁿ  8

Ta có: 2^m  2ⁿ  6  2^m  2ⁿ  6 .

 

Suy ra 2^m , 2ⁿ là nghiệm của phương trình t 2  6t  8  0

 t  2 .



t  4

2^m  2

2ⁿ  4



Do đó:



2^m  4





2ⁿ  2



m  1

n  2





m  2 .

n  1



Trong cả hai trường hợp ta đều có m.n  2 .

Câu 21. Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a và chiều cao bằng a . Thể tích của khối nón đã cho bằng

3

a³ 2a³

2a³

3 a³

A. V  . B. V  . C. V  . D. V  .

3

Chọn D

3 3 3

Lời giải

Ta có thể tích khối nón được tính bằng công thức: V  1 r²h

3

3

Trong đó khối nón có chiều cao h  a

; đường sinh l  2a

; r²  l²  h²  4a²  3a²  a²

Vậy V 

1  r ²h  1  a²a 

3 3 3

3

3 a³

  

Câu 22. Trong không gian Oxyz, cho a 2; 2; 0,b 2; 2; 0, c 2; 2; 2 . Giá trị của

11

6

a  b  c

bằng

A. 6. B. 11. C. 2

Lời giải

. D. 2 .

Chọn C

Ta có: a  b  c  2; 6; 2 . Vậy

  

a  b  c  2

11

Câu 23. Cho f  x  xác định, liên tục trên 0; 4 thỏa mãn

4

f  x  f 4  x  x²  4x.

Giá trị của  f  x dx

0

bằng

Trang 11/28 – WordToan

A. 32. B. 16 .

3

C. 32 .

3

Lời giải

D. 16.

C họn B

4 4

Ta có

f  x  f 4  x  x²  4x   f  x  f 4  xdx=x²  4x dx

0 0

  f  x  f 4  xdx  32

4



3

  f  xdx   f 4  xdx  32

0 0 0

4 4

3

  f  xdx- f 4  xd4  x = 32   f  x dx+ f  xdx= 32

4 4

3

4 4

3

0 0 0 0

 2 f  xdx= 32

4



3

 f  xdx  16 .

3

4



0 0

 

Câu 24. Giá trị

1 i2  i  i

bằng

A. 17. B. 5. C. 3

D. 13.

Lời giải

C họn B

1 i 2  i   i  1 i 2  i   i  1 2i   .

1²  2²

5

Câu 25. Cho số phức z có điểm biểu diễn như hình vẽ. Phần ảo của số phức z

z  i

bằng

1. 5 i. 4
2. 1 i. 4
3. 5 . 4

Lời giải

1. 1 .

4

C họn D

Từ hình vẽ suy ra z  2  3i .

z  2  3i  2  3i  5  1 i .

z  i (2  3i)  i 2  2i 4 4

Vậy phần ảo của số phức z

z  i

bằng 1 .

4

Câu 26. Cho hàm số

y  f  x  có bảng biến thiên như sau

Trang 12/28 – Diễn đàn giáo viên Toán

Giá trị lớn nhất của hàm số

f sin x 1 bằng

A. 4 . B. 3 . C. 3

Lời giải

. D. 2 .

C họn B

Đặt t  sin x 1  t 2; 0 .

Do đó

y  f (sin x 1)  f (t), t 2; 0 .

Từ bảng biến thiên suy ra

Max f (t)  f (2)  3 .

t2;0

x  t



Câu 27. Trong không gian Oxyz,

cho điểm M 1; 1; 2

và hai đường thẳng d :  y  1 4t ,

z  6  6t



d  : x  y 1  z  2 . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua M , vuông

2 1 5

góc với d và d  ?

A. x 1  y 1  z  2 .

17 14 9

C. x 1  y 1  z  2 . 17 9 14

B.

D.

Lời giải

x 1  y 1  z  2 . 14 17 9

x 1  y 1  z  2 . 14 17 9

C họn D 

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương u  1; 4; 6 . Đường thẳng d  có một vectơ chỉ phương u  2;1; 5.



Gọi  là đường thẳng qua M , vuông góc với d và d  nên có một vectơ chỉ phương là:

  

u  u, u  14;17; 9 .

Vậy phương trình đường thẳng  :

x 1  y 1  z  2 . 14 17 9

Câu 28. Hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số

f  x  ax⁴  bx³  cx²  dx  e. Hỏi có bao nhiêu m nguyên

để phương trình

f  x   m

có ít nhất ba nghiệm phân biệt ?

Trang 13/28 – WordToan

A. 3. B. 2. C. 1. D. 4.

Lời giải

C họn A

Cách vẽ đồ thị hàm số

y  f  x  khi biết đồ thị hàm số

y  f  x  :

Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị phía bên phải trục tung. Bỏ phần đồ thị phía bên trái trục tung. Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị phía bên phải trục tung qua trục tung.

Ta được đồ thị hàm số

y  f  x 

như hình vẽ dưới đây.

Phương trình

f  x   m có ít nhất ba nghiệm phân biệt  3  m  0 .

Mà m nguyên nên m 2; 1; 0 . Vậy có 3 giá trị m thỏa đề.

Câu 29. Cho khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a . Thể tích khối chóp đã cho bằng

a3

a3

2

a3

2

• 1. .

2

• 1. a ³.
  2. .

6

Lời giải

• 1. .

3

C họn C

Trang 14/28 – Diễn đàn giáo viên Toán

S

C

B

O

A

D

Cho hình chóp như hình vẽ. Khi đó ta có: Diện tích đáy B  a² .

ABCD

Do hình chóp S.ABCD đều nên SO là đường cao.

Do tam giác SOA vuông tại O có SA  a , OA  1 AC  a

2 2

2  SO 

 a 2 .

2

a 

2

 a 

2

 2 

 

Thể tích khối chóp S.ABCD là V  1 a².  .

a 2

a3

2

3 2 6

Câu 30. Cho lăng trụ đều ABC.ABC có tất cả các cạnh bằng a . Góc giữa đường thẳng AB và mặt

phẳng  ABC bằng

A. 60.

Chọn B

B. 45.

C. 30.

Lời giải

B

D. 90.

A C

B’

A’ C’

Từ giả thiết của bài toán suy ra : AB là hình chiếu vuông góc của Do đó, AB,  ABC  AB, AB  ABA .

AB‘ trên  AB ‘C ‘ .

Tam giác ABA vuông tại A có AA  AB  a  AAB vuông cân tại A. Suy ra AB, ABC  AB, AB  ABA  45.



Câu 31. Cho

² cos x  3

dx  a 

ba, b . Giá trị của a  b2

bằng

 2^x 1 2





2

A. 10 . B. 4 . C. 2 . D. 2 .

Lời giải

Trang 15/28 – WordToan

C họn A



2

cos x  3

⁰ cos x  3



² cos x  3

Đặt I  



2

2^x 1

dx  



2

2^x 1

dx  

0

2^x  1

dx .

0

Tính I1  



2

cos x  3 2^x 1

dx .

Đặt t  x  dt  dx . Đổi cận:

⁰ cos t  3





2 2^t cos t  3

2 2^x cos x  3

Có I1  



2

2^t 1

dt  

0

2^t  1

dt  

0

2^x 1

dx .

  

² cos x  3

2 2^x cos x  3 2

^ 3

Suy ra

I  

2^x 1

dx  

2^x 1

dx  cos x  3dx  sin x  3x 2  1 2 .

0 0 0

0

Suy ra a  1, b  3. Vậy a  b2  10 .

Câu 32. Trong không gian

Oxyz,

cho 2 đường thẳng

d : x 1  y  2  z 1 và

¹ 1 1 2

d : x 1  y 1  z  2 .

² 2 1 1

Mặt phẳng  P : x  ay  bz  c  0 c  0

song song với d₁, d₂ và khoảng cách từ d₁ đến  P

bằng

2 lần khoảng cách từ d2

đến  P. Giá trị của a  b  c

bằng

A. 14 . B. 6. C. 4. D. 6. .

Lời giải

C họn A

Gọi u  1;1; 2 , u  2;1;1 lần lượt là một vectơ chỉ phương của d , d .

1 2 1 2

Gọi n  u ,u   1; 3;  1, có n cùng phương n  1;  3;1 .

1  1 2  1 2

n  1; a; b là một vec-tơ chỉ phương của P . Do P song song với d , d nên chọn n  1;  3;1 .

1 2

Suy ra phương trình mặt phẳng P có dạng:

x  3y  z  c  0 .

Lấy

M1 1;  2;1 d1 , M2 1;1;  2 d2

Có d d1;P   2d d2 ;P   d M1;P   2d M2 ;P 

8  c  2 4  c

1 32 1 c

11

1  3  2  c

11

 

  2

c  16 nhaän

 8  c  2 4  c

8  c  2 4  c

 

c  0

loaïi .

Trang 16/28 – Diễn đàn giáo viên Toán

Nên P  : x  3y  z  16  0 , suy ra a  3, b  1, c  16 . Vậy a  b  c  14 .

Câu 33. Cho số phức z thỏa mãn 2  i  z 2  i  z  2i . Giá trị nhỏ nhất của z bằng

A. 1. B. 2 5 . C. 2 . D. 5 .

 

C họn D

Giả sử z  x  yi

5 5

Lời giải

 x, y   . Ta có

2  i  z 2  i  z  2i  2  i  x  yi   2  i  x  yi   2i

 2x  y   2 y  xi  2x  y   2 y  x i  2i

 x  2 y 1 .

Do đó z 2  x²  y²  2 y 12  y²  5 y²  4 y 1  

 4 y  2xi  2i  4 y  2x  2

 5 y  2   1  1 , y  .

2

  5  5 5

 

Suy ra min z  1  5 khi y  2 , x   1 .

5 5 5 5

Câu 34. Một công ty sản xuất bút chì có dạng hình lăng trụ lục giác đều có chiều cao 18 cm và đáy là hình lục giác nội tiếp đường tròn đường kính 1cm . Bút chì được cấu tạo từ hai thành phần chính là than

chì và bột gỗ ép, than chì là một khối trụ ở trung tâm có đường kính 1 cm , giá thành 540

4

đồng / cm3 . Bột gỗ ép xung quanh có giá thành 100 đồng / cm3 . Tính giá của một cái bút chì được công ty bán ra biết giá nguyên vật liệu chiếm 15, 58 % giá thành sản phẩm.

A. 10000 đồng. B. 8000 đồng. C. 5000 đồng. D. 3000 đồng.

Lời giải

C họn A

Gọi R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp lục giác đều và bán kính của lõi than chì.

Ta có R  1 cm

2

và r  1 cm .

8

Suy ra diện tích của lục giác đều là S  6.R²  6. .

3

3

 3 3 .

1

4 4 4 8

Gọi V là thể tích của khối lăng trụ lục giác đều. V1 , V2 lần lượt là thể tích của khối than chì và bột gỗ dùng để làm ra một cây bút chì.

  Ta có V  S.h  3 3 .18  27 3 cm³  ; V  r ²h  . 1 .18  9 cm³  .

8 4 ¹ 8² 32

Trang 17/28 – WordToan

 V  V  V

 27 3  9 cm3  .

^2 1 4 32

Do đó, giá nguyên vật liệu dùng để làm một cây bút chì là 540V1 100V2

Vậy giá bán ra của cây bút chì là

(đồng).

 540V 100V . 100  540. 9 100 27 3  9 . 100

 10000 (đồng).

1 2 15, 58  32  4 32  15, 58

  

Câu 35. Cho hàm số

y  m²  3m  2 x⁴  x³  m  2 x²  x, có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số

đã cho nghịch biến trên khoảng ; ?

A. 3 . B. 1. C. 0 . D. 2 .

Lời giải

C họn D

Ta có

y  4 m²  3m  2 x³  3x²  2 m  2 x 1; m²  3m  2  0  m  1



m  2

+ Xét trường hợp: m  1  y  3x²  2x 1  0, x . Do đó m  1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

+ Xét trường hợp: m  2  y  3x² 1  0, x  . Do đó m  2

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

+ Xét trường hợp: m  1 . Khi đó tập giá trị của hàm y là  nên mệnh đề ” y  0,x ” sai.

m  2



Do đó m  1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

m  2



Câu 36. Cho khối lăng trụ ABC.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại A có AB  AC  2a ; BC  2a 3 .

Tam giác ABC vuông cân tại A và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy  ABC  . Khoảng

cách giữa hai AA và BC bằng

a 2

2

A. a . B.

3

. C.

Lời giải

. D. a 3 .

2

a 5

2

B’ C’

A’

K

H

C

B

A

C họn D

Gọi H là trung điểm của BC và K là hình chiều của H trên AA .

Theo giả thiết ta có tam giác ABC cân tại A nên BC  AH

AB2  BH 2

4a2  3a2

1 và

AH 

  a . Mặt khác  ABC    ABC  và tam giác ABC

vuông cân

tại A nên

AH  BC 2 và

AH  1 BC  a

2

Từ 1

và 2 suy ra

BC   AHA  BC  HK

3.

nên HK là đoạn vuông góc chung của AA và BC .

 AH .AH a² 3

 

a 3

Vậy d  A A, BC   HK    .

Trang 18/28 – Diễn đàn giáo viên Toán

AH ²  AH ²

a²  3a² 2

Câu 37. Cho x, y thỏa mãn log x  log y  log  x²  y. Giá trị nhỏ nhất của 3x  y

1 1 1

2 2 2

bằng

A. 9 . B. 4  2

. C. 15 . D. 5  2 3 .

Lời giải

3

C họn A

Điều kiện: x, y  0

Ta có: log x  log y  log  x²  y  log xy  log  x²  y .

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

 xy  x²  y  y  x 1  x²

Vì x²  0  y  x 1  0  x 1  0  x  1.

Do đó

y  x 1  x²

 y 

x2 x 1

2

. Khi đó P  3x  y  3x   f  x 1 .

x

x 1

Xét

f  x trên khoảng 1;  , ta có:

 4x²  8x  3

 x 1

f  x  ₂ ;

f   x   0  x  3

2

( Vì x  1 ).

Bảng biến thiên:

x 1 3 

2

f   x f  x 

 0 

9

Từ bảng biến thiên, ta có

f  x   9, x  1

2 .

 x²  3

Từ 1

y 

và 2 ta có 3x  y  9 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 

 x 1

x  3

x  2



9



 y 

. Vậy giá trị

nhỏ nhất của 3x  y bằng 9 .

 2

 2

Câu 38. Xếp ngẫu nhiên 21 học sinh, trong đó có đúng một bạn tên Thêm và đúng một bạn tên Quý vào ba bàn tròn có số chỗ ngồi lần lượt là 6, 7, 8 . Xác suất để hai bạn Thêm và Quý ngồi cạnh nhau bằng

A. 1 . B. 2 . C. 12 . D. 1 .

10

C họn A

19 35 6

Lời giải

Số phần tử không gian mẫu là

  C ⁶ .5!.C ⁷ .6!.C⁸.7!.

Trường hợp 1: Hai bạn Thêm và Quý cùng ngồi bàn 6 chỗ và ngồi cạnh nhau Số cách chọn người và sắp xếp là C ⁴ .4!2!.C ⁷ .6!.C⁸.7!

21 15 8

19 15 8

Trường hợp 2: Hai bạn Thêm và Quý cùng ngồi bàn 7 chỗ và ngồi cạnh nhau Số cách chọn người và sắp xếp là C ⁵ .5!2!.C⁶ .5!.C⁸.7!

19 14 8

Trường hợp 3: Hai bạn Thêm và Quý cùng ngồi bàn 8 chỗ và ngồi cạnh nhau Số cách chọn người và sắp xếp là C ⁶ .6!2!.C ⁶ .5!.C ⁷.6!.

19 13 7

Xác suất để hai bạn Thêm và Quý ngồi cạnh nhau bằng

C⁴ .4!2!.C⁷ .6!.C⁸.7! C⁵ .5!2!.C⁶ .5!.C⁸.7! C⁶ .6!2!.C⁶ .5!.C⁷.6! 1

P  19 15 8 19 14 8 19 13 7  .

C⁶ .5!.C⁷ .6!.C⁸.7! 10

21 15 8

Trang 19/28 – WordToan

Câu 39. Trong không gian

Oxyz,

cho ba mặt phẳng  P : x  y  z 1  0,

Q : 2 y  z  5  0

và  R : x  y  z  2  0.

Gọi 

là mặt phẳng qua giao tuyến của  P

và Q , đồng thời vuông

góc với  R. Phương trình của  là

A. 2x  3 y  5z  5  0.

C. x  3 y  2z  6  0.

B . x  3 y  2z  6  0.

D. 2x  3 y  5z  5  0.

Lời giải

C họn B

Tọa độ mọi điểm thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng  P và Q

x  y  z 1  0

2 y  z  5  0



thỏa mãn hệ phương trình:



Cho

z  1 ta được

A2; 2;1 , cho z  5 ta được B 4; 0;5 thuộc giao tuyến,



AB 2; 2; 4 .

Mặt phẳng  R  có vec tơ pháp tuyến n_R  1; 1;1 .

 1  

Mặt phẳng  đi qua A2; 2;1 và có vec tơ pháp tuyến n   AB, n   1;3; 2 .

2 R

Phương trình của  là:  x  2  3 y  2  2  z 1  0  x  3y  2z  6  0 .

Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và AB  2a, AD  a. Tam giác SAB đều

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng

  

1. a

57 .

6

1. a

19 .

4

Lời giải

1. 2a

15 .

3

1. a

13 .

3

C họn A

S

G I

A D

M

O

B C

Gọi O là tâm của đáy, M là trung điểm của AB và G là tâm của tam giác đều SAB .

Gọi d , Δ lần lượt là trục của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD và tam giác SAB .

Do  SAB   ABCD, SAB  ABCD  AB, SM  AB

nên

SM   ABCD .

Mặt khác d   ABCD nên d // SM hay Δ  mp d, SM  , Δ và d cắt nhau tại I . Ta có I cách đều S , A, B, C, D nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Tứ giác GMOI có GM  MO, IG  GM , SM // IO nên GMOI là hình chữ

 nhật. SM  a 3, GM  1 SM  a 3 , AO  1 AC  a 5 .

 

3 3 2 2

a²  5a² 3 4

57a

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là R  IA    .

IO²  AO²

6

ln x

1ln y

Câu 41. Cho

x, y 0;2 thỏa mãn  x  3 x  8  ey ey 11 . Giá trị lớn nhất của 

bằng

Trang 20/28 – Diễn đàn giáo viên Toán

A. . B. 2

1  ln 3  ln 2

. C. 1 

Lời giải

ln 3  ln 2

. D. 1 .

C họn B

ln 3  ln 2

ln 2

 x  3 x  8  ey ey 11

 x²  5x  24  e² y²  11ey   0

* .

  25  424  e² y² 11ey  2ey 112 . Suy ra phương trình *

có hai nghiệm

 x  3  ey  ey  x  8

1

.

 x  ey  8 ey  3  x 2

 

Xét 1 : Ta có 0  x, y  2  0  ey  5,6

 1 bị loại.

0  e  2,8 x  8  8

 

Cách 1: Với ey  3  x

ln 3  x

    

ln x

1 ln y

ln x

ln ey

ln x

 f  x .

f   x  

1

2x ln x

f  x  0  x

ln x

Bảng biến thiên

 3  x

;

 x  3  x  x  3 0 ; 2 .

1

2 3  x ln 3  x

ln 3  x

2

Từ bảng biến thiên ta có max f  x  f  3   2

, với

ln 3  ln 2

x  3  y 

3 3

2  3 0;2 .

Vậy giá trị lớn nhất của

Cách 2:

2 a  b

0;2



ln x

 

 

2

bằng 2

1ln y

2 e 2e

.

ln 3  ln 2

Áp dụng bất đẳng thức  

a

b

, ta được

 

ln x

1 ln y

ln 3  ey 

 ² 

 9 

   .

3 2  9

ln ey

2 ln 3  ey  ln ey

2 ln 3ey ey2 





Do ln 3ey  ey

  ln  4  ey  2 

  ln  2 ln 3  ln 2 .

4

Suy ra



  2

ln x

1ln y

ln 3 ln 2



ln 3  ey 

  

.

 3 3

ln ey

 3

Đẳng thức xảy ra  

ey   0

 y  0; 2

2e

 x  0 ; 2 .

2

 2

Vậy giá trị lớn nhất của 

ln x

bằng 2 .

1ln y

ln 3  ln 2

Câu 42. Có bao nhiêu số phức z  a  bi , a,b thỏa mãn

z i  z 3i  z 4i  z 6i và

z  10 .

Trang 21/28 – WordToan

A . 12. B. 2 . C. 10 . D. 5 .

Lời giải

C họn A

Gọi M a;b ,

A0; 1 , B 0;3 , C 0;  4 , D 0; 6

lần lượt là các điểm biểu diễn cho số phức

z  a  bi , i , 3i , 4i , 6i .

Trường hợp 1: Xét trường hợp M không thuộc Oy . Gọi I là trung điểm AB khi đó I cũng là trung điểm CD . Do ( M , A , B ), ( M , C , D ) không thẳng hàng. Gọi M  là điểm đối xứng của M qua I .

Theo tính chất hình bình hành ta có MA  MB  MB  M B ; MC  MD  MD  M D . Dễ thấy MD  M D  MB  M B vậy trường hợp này không có điểm M thỏa mãn.

Trường hợp 2: Xét trường hợp M thuộc Oy  M 0; m ,  m  10 .

MA  MB  MC  MD  m 1  m  3  m  4  m  6  m  6 .

m  4



Kết hợp điều kiện  m 10; 46;10 . Vì m    có 12 giá trị.

5

Câu 43. Cho Parabol  P : y  x²

và đường tròn C  có tâm

A0;3 , bán kính

như hình vẽ. Diện tích

phần được tô đậm giữa C  và  P gần nhất với số nào dưới đây?

A. 3, 44. B. 1, 51. C . 3, 54. D. 1, 77.

C họn C

Phương trình C  :

x²   y  32  5 .

Lời giải

Trang 22/28 – Diễn đàn giáo viên Toán

Tọa độ giao điểm của  P  và C  là nghiệm của hệ phương trình:

x²   y  32  5



 y  x²

 y   y  32  5

 

 y  x²

 y  1

  y  4





 

x  1

 y  1



x  1

 y  1

 y  x²

 

x  2





 y  4





x  2

 y  4



. Vậy tọa độ các giao điểm là 1;1 , 1;1 , 2 ; 4 , 2; 4 .

Ta có:

5  x²

S  2 S₁  S₂  .

Tính S1 :

x²   y  32  5 (C)

 y  3 

 S1

 1 3 

0

 _

5  x²  x² dx  0, 5075 .

x²   y  32  5 (C)  x   

5  y 32

y

5  y  32



4

 Tính

S2 : 

 S2   

 y dy  1, 26 .

Vậy

 y  x²

S  2 S₁  S₂   3, 54 .

 x 

1  

Câu 44. Cho hàm số

1

của  f  xdx

0

f  x  có đạo hàm trên  thỏa mãn 4 f ³  x  f  x  x

bằng

với mọi x . Giá trị

A. 0. B. 1 .

2

C. 5 . 16

Lời giải

D.  1 .

2

C họn C

Đặt t  f  x  4t³  t  x  12t ² 1dt  dx .

Trang 23/28 – WordToan

x  0  4 f ³ 0  f 0  0  f 0  0  t  0



Đổi cận: x  1 4 f ³ 1  f 1  1 f 1  1  t  1 .

 2 2

1

Vậy

f  xdx  t 12t² 1dt  5 .

1 2

 

0 0 16

Câu 45. Cho khối lăng trụ tam giác đều

ABC.ABC. Các mặt phẳng  ABC và  ABC 

chia khối lăng trụ

đã cho thành 4 khối đa diện. Kí hiệu

H1, H2

lần lượt là khối có thể tích lớn nhất và nhỏ nhất trong

bốn khối trên. Giá trị của V H1 

V H 

2

bằng

A. 4 . B. 2 . C. 5. D. 3.

Lời giải

C họn C

 Gọi E  AC ‘ A‘C và F  BC ‘ B ‘C .

Khi đó:  ABC và  ABC  chia khối lăng trụ tam

giác đều

ABC.ABC thành 4 khối đa diện: CEFC ‘ ;

FEA ‘ B ‘C ‘ ; FEABC và FEABB ‘ A ‘ (hình vẽ).

Gọi V là thể tích của khối lăng trụ tam giác đều

ABC.ABC.

Ta có VC . A‘ B ‘C ‘

 VC “. ABC

 1 V

3

VFEA‘ B ‘C ‘  VC. A‘ B ‘C ‘ VCEFC ‘ và VFEABC  VC ‘. ABC VCEFC ‘

 VFEA‘ B ‘C ‘  VFEABC .

Mặt khác:

VCEFC ‘

 CE . CF

 1 . 1  1 V

 1 V

 1 1

 1 V

VC. A‘ B ‘C ‘ CA ‘

CB ‘ 2 2 4

CEFC ‘

4 C. A‘ B ‘C ‘

. V

4 3 12

 VFEA‘ B ‘C ‘

 VFEABC  VC .A‘ B ‘C ‘

VCEFC ‘

 1V  1 V  1 V

3 12 4

 V  V 

1  1 V  5 V

FEABB ‘ A‘

2. V

4

12 12

Do đó: H1 có thể tích lớn nhất là khối đa diện FEABB ‘ A ‘ ; H2 có thể tích nhỏ nhất là khối đa diện

CEFC ‘

và V H₁ 

V H 

2

 5 .

Câu 46. Hỏi hàm số

y  sin 2x  x

có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng ;?

A. 4 . B. 7 . C. 5. D. 3.

Lời giải

C họn C

Xét f  x   sin 2x  x, x ; .



x



  k



1 3

Ta có

f ‘ x   2cos2x  1;

f ‘ x  0  cos2x    

2

 , k  Z .

 x    k

 3

Trang 24/28 – Diễn đàn giáo viên Toán

+ Với

x   k do x ;

3





 x  

2 

; x  .

3 3

+ Với

x    k do x  ;

 x  



; x 

2.

3 3 3

Bảng biến thiên

 

Bảng biến thên y 

f  x

 Vậy hàm số

y  sin 2x  x

có 5 điểm cực trị trên khoảng ; .

Câu 47. Cho hàm số

f  x  2x³  6x² 1 và các số thực m, n thỏa mãn m²  4mn  5n²  2 2n 1. Giá trị

nhỏ nhất của

f  m  2



bằng

 n 

2

 

A. 4 . B. 99 . C. 5 . D. 100 .

Lời giải

C họn B

m  2 2

Đặt

n

 t  m  2

 nt  m  nt  2

2

thay vào đẳng thức

2

   m²  4mn  5n²  2 2n 1 ta có: nt  2 2 2  4 nt  2 2 n  5n²  2 2n 1.

   t ²  4t  5n²  2 2 2t  5 2 n  9  0

Phương trình 1 có nghiệm n  0 .

  ‘  0 .

1 , có t ²  4t  5  0, t   .

   (2 2t  5 2)²  9(t ²  4t  5)  0  t²  4t  5  0  t [5;1].

Xét hàm số f t   2t³  6t ² 1 trên đoạn [5;1]

t  05;1

f ‘t   6t ² 12t  0   .

t  2 5;1

Ta có

f (5)  99 ,

f (2)  9 , f (0)  1 , f (1)  9 .

Vậy giá trị nhỏ nhất của

f  m  2 2 

bằng 99 .

 n 

 

Trang 25/28 – WordToan

Câu 48. Cho hai đường cong  H  : y  m  1

x

và  P  : y  x²  x 1. Biết  P,  H  cắt nhau tại 3 điểm phân

biệt sao cho đường tròn đi qua 3 điểm này có bán kính bằng 2.Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A . m 1; 6 . B. m 6;1 . C. . m ; 6.

Lời giải

D. . m 6; .

Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm của  H 

 x³  x²  m 1 x 1  0 (*)

và  P 

m  1  x²  x 1

x

 x  0

Giả sử

x1 , x2 , x3 là ba nghiệm phương trình (*)

Khi đó tọa độ giao điểm  P và H  là A x₁; y₁  , B x₂; y₂  , C x₃; y₃ 

Đặt

g(x)  x³  x²  m 1 x 1  g  x   g  x   g x   0

Ta có:

1 2 3

y  x²  x 1  y²  (x²  x 1)²

 y²  x⁴  2x³  x²  2x 1

 y ²  (x 1).g(x)  (m 1)x²  mx  2

Tọa độ A, B, C thỏa mãn :

y²  (m 1)x²  mx  2

 y²  x²  mx²  mx  2

 x²  y²  mx²  mx  2

 x²  y²  m(y x 1)  mx  2

 x²  y²  m y m  2  0 (**).

 m 

0²     m  2

 m 2

 2 

(**) là phương trình đường tròn tâm I  0;



 bán kính R  .



2

Vì ba điểm A, B, C thuộc đường tròn bán kính bằng 2 nên ta

 m 2

có: 0²   

 2 

m  2  2

 m  2  4  m²  4m  8  0   .

3

3

m  2  2

Với m  2  2

3

m  2  2

3

phương trình (*) có 1 nghiệm (loại). phương trình (*) có 3 nghiệm (thỏa mãn).

 Vậy m  2  2 3 1; 6 .

Câu 49. Trong không gian Oxyz,

gọi d là đường thẳng đi qua O, thuộc mặt phẳng Oyz 

và cách điểm

M 1; 2;1 một khoảng nhỏ nhất. Côsin của góc giữa d và trục tung bằng

A. 2 . B. 1 . C. . .

1

5

D. 2 5

5

Chọn D

5

Lời giải

Trang 26/28 – Diễn đàn giáo viên Toán

Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của M trên mặt phẳng Oyz 

và trên đường thẳng d .

Ta có:

d M , d   MK  MH  1 , H 0;  2;1 .



Suy ra d M , d  nhỏ nhất khi K  H . Khi đó d có một vecto chỉ phương là OH  0;  2;1 .

 

OH . j

2

cosd , Oy      .

5

OH j

Câu 50. Trong không gian Oxyz,

cho hai mặt cầu S  :

x²  y²   z 12  25

và S :

 x 12   y  22   z  32  1. Mặt phẳng  P  tiếp xúc S và cắt S  theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng 6. Khoảng cách từ O đến  P  bằng

A. 14 . B. 17 . C. 8 . D. 19 .

3

C họn A

7 9 2

Lời giải

Mặt cầu S  có tâm I 0; 0;1 , bán kính R  5 , mặt cầu S có tâm I 1; 2; 3 , bán kính R  1

Vì I I  3  R  R  4 nên mặt cầu S nằm trong mặt cầu S  .

Mặt phẳng  P  tiếp xúc S

 d I ,  P  R  1;  P  cắt S  theo giao tuyến là một đường

tròn có chu vi bằng 6 ( suy ra bán kính đường tròn là r  3) nên d I , P  

R²  r²

 4 .

Nhận thấy d I ,  P  d I ,  P  I I

nên tiếp điểm H của  P  và S cũng là tâm đường tròn



giao của  P  và S  . Khi đó,  P  là mặt phẳng đi qua H , nhận II   1; 2; 2 làm vecto pháp tuyến.





4 

 4

 H 3

x

 8 4 8 11

Ta có:

IH 

II    y   H  ; ;  .

 H

 

3

3



  11



z

 H 3

 3 3 3 

Trang 27/28 – WordToan

Phương trình mặt phẳng  P  :

x  4  2  y  8   2  z  11   0  x  2 y  2z 14  0 .

3  3   3 

   

Khoảng cách từ O đến  P  là d O, P   14 .

3

HẾT

Trang 28/28 – Diễn đàn giáo viên Toán